Modelo 1

1. Calcule os limites:
   • \( \lim\limits_{x \rightarrow {{a}}} \frac{2x^{2} - {{DoisaMb}}x + {{ab}}}{x^{2} - {{aMc}}x + {{ac}}} \)
     Resposta: \( \frac{{{bMenosDoisa}}}{{{cMenosa}}} \)
   • \( \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{{{a}}x + 5}{\sqrt{x^{2} - {{b}}x + {{c}}}} \)
     Resposta: \( -{{a}} \)
   • \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\text{sen } ({{a}}x)\tan({{b}}x)}{x^{2}\cos(2x)} \)
     Resposta: \( {{ab}} \)
2. Seja \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} Ax + B, & x < 1 \\ {{a}}x^{2} - 2, & x \geq 1 \end{array} \right. \)
   • Encontre os valores de \( A \) e \( B \) para que a função seja contínua e derivável em \( x = 1 \).
     Resposta: \( A = {{Doisa}} \), \( B = -{{aMais2}} \)
   • Faça o gráfico da função \( f \).
3. Considere a função \( f(x) = {{a}}x^{4} - {{a}}x^{2} + 2x - 1 \)
   • Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \( f \) em \( (1, 1) \)
   • Mostre que \( f \) tem pelo menos uma raiz.
4. Calcule as derivadas das funções abaixo:
   • \( f(x) = (\text{sen } x + \cos x)^2 (x^2 + {{c}}) \)
   • \( f(x) = \frac{2x^2 - 2}{x^2 - {{b}}} \)

Modelo 2

1. Calcule os limites a seguir:
   • \( \lim\limits_{x \rightarrow {{a}}} \frac{x^{3} - {{a}} x^{2} + 2x - {{Doisa}}}{x^{3} - {{a}} x^{2} + x - {{a}}} \)
     Resposta: \( \frac{{{aaMais2}}}{{{aaMais1}}} \)
   • \( \lim\limits_{x \rightarrow {{a}}} \frac{\sin(x - {{a}}) - \tan(x - {{a}})}{x^{2} - {{a}}^{2}} \)
     Resposta: \( 0 \)
2. • Determine as assíntotas verticais, caso existam, de \( f(x) = \frac{x - {{c}}}{x^{2} - {{aMaisb}}x + {{ab}}} \)
     Resposta: \( x = {{a}} \) e \( x = {{b}} \)
   • Determine as assíntotas horizontais, caso existam, de \( f(x) = \frac{{{b}} x + {{c}}}{\sqrt{{{a}}^{2}x^{2} + {{b}} x + {{c}}}} \)
     Resposta: \( y = \frac{{{b}}}{{{a}}} \) e \( y = -\frac{{{b}}}{{{a}}} \)
3. Seja \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} Ax + B, & \text{se } x < {{c}} \\ {{a}}, & \text{se } x = {{c}} \\ Ax^{2} - B, & \text{se } x > {{c}} \end{array} \right. \)
   • Determine \( \lim\limits_{x \rightarrow {{c}}^+} f(x) \)
     Resposta: \( {{c}} A + B \)
   • Determine \( \lim\limits_{x \rightarrow {{c}}^-} f(x) \)
     Resposta: \( {{cc}} A - B \)
   • Determine os valores de \( A \) e \( B \) para que \( f \) seja contínua em \( x = {{c}} \)
     Resposta: \( A = \frac{{{Doisa}}}{{{ccMaisc}}} \), \( B = \frac{{{acMenosa}}}{{{cMais1}}} \)
4. Considere a função \( f(x) = x^3 + {{a}} \)
   • Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \( f \) no ponto \( (-1, {{aMenos1}}) \)
     Resposta: \( y = 3x + {{aMais2}} \)
   • Esboce o gráfico de \( f \) e da sua reta tangente no ponto \( (-1, {{aMenos1}} ) \)
   • Calcule a derivada de \( f \) usando a definição de derivada.
5. Calcule \( f'(x) \), para \( f(x) = \frac{x^2 - {{a}}}{x^2 + {{a}}} \). Simplifique o resultado o máximo possível.
   Resposta: \( \frac{{{Quatroa}} x}{(x^2 + {{aa}})} \)